DigitalOcean の 1 クリックインストールを使用し、Discourse 公式の標準インストールを行っていない場合、スワップが設定されていない可能性が高いです。そのため、2GB 以上のメモリを持っていない限り、再構築時にメモリ不足に陥ります。
以下のコマンドを実行してみてください。
cd /var/discourse
./discourse-setup
必要に応じて、これでスワップが自動的に作成されます。
DigitalOcean の 1 クリックインストールについてサポートを受けたい場合や、「DigitalOcean 側の対応に任せて適切な動作を保証してもらいたい」のであれば、彼らにサポートを依頼すべきです。
ただし、すでに投稿しているついでに、PuTTY の設定が原因ではないことを確認するより簡単な方法として、コンソールを試すことをお勧めします（これにより、PuTTY のパラメータを無駄に調整する時間を節約できます）。もしまだ discourse-setup を実行していないのであれば、問題の原因はスワップ領域にあると確信しています。