こんにちは、Danさん。
検索バナープラグインのアウトレットがデフォルトの above-main-container になっているようです。検索バナーを #main-outlet の外に配置するには、これを変更する必要があると思います 
しかし、テーマにはチャットカスタムスタイルがあり (discourse-air/scss/chat-mobile.scss at main · discourse/discourse-air · GitHub)、これは #main-outlet で有効にすると、チャットページでのみアクティブにする必要があると思います。
これは #main-outlet に !important で背景を追加しており、#main-outlet などでのテーマの背景の透明度を上書きしています…
これを .has-full-page-chat に制限すれば、チャットページにのみ表示されるようにするのが良いのではないでしょうか？
above-main-container 設定の場合
below-site-header 設定の場合
