AzureCast との API 統合は、作業範囲がかなり広範です。Discourse で AzureCast と行いたい統合は、ラジオ局へのリンクを提供する Onebox ではないでしょうか？
残念ながら現在機能していないようです。Discourse のトピック内には、以下のような小さなオーディオプレイヤーを備えた Onebox 埋め込みが可能であるはずです。
AzureCast には 埋め込み機能 があるようです。
公開ページ: AzuraCast には、既存のウェブページに統合したり、独自のカスタマイズされたプレイヤーの基盤として使用したりできる埋め込み可能な公開ページが含まれています。
SoundCloud の場合と同様に、以下のような実装が可能でしょう。