Essas duas localizações estão (normalmente) no mesmo disco, então não pode ser problema de espaço em disco, então de fato acho que deve ser problema de permissão. Claro que os backups normalmente funcionarão - assumindo que você fez uma instalação padrão - e, portanto, parece provável que sua criação manual de um diretório tenha algo a ver com o problema.
Mas. Verifiquei em minha máquina, e a propriedade e proteção são assim, dentro do contêiner:
root@ubuntu-2gb-nbg1-1-app:/var/www/discourse# ls -ltrd /var/www/discourse/tmp/backups/default /var/www/discourse/public/backups/default
drwxr-xr-x 2 discourse www-data 4096 Jan 24 03:36 /var/www/discourse/tmp/backups/default
drwxr-xr-x 2 discourse www-data 4096 Jan 24 03:36 /var/www/discourse/public/backups/default
root@ubuntu-2gb-nbg1-1-app:/var/www/discourse# ls -nltrd /var/www/discourse/tmp/backups/default /var/www/discourse/public/backups/default
drwxr-xr-x 2 1000 33 4096 Jan 24 03:36 /var/www/discourse/tmp/backups/default
drwxr-xr-x 2 1000 33 4096 Jan 24 03:36 /var/www/discourse/public/backups/default
root@ubuntu-2gb-nbg1-1-app:/var/www/discourse# ls -nltrd /var/www/discourse/tmp/backups /var/www/discourse/public/backups
lrwxrwxrwx 1 0 0 19 Jan 10 15:26 /var/www/discourse/tmp/backups -> /shared/tmp/backups
lrwxrwxrwx 1 0 0 15 Jan 10 15:26 /var/www/discourse/public/backups -> /shared/backups
root@ubuntu-2gb-nbg1-1-app:/var/www/discourse# ls -nltrd /var/www/discourse/tmp /var/www/discourse/public
drwxr-xr-x 1 1000 1000 12288 Jan 10 15:31 /var/www/discourse/public
drwxr-xr-x 1 1000 33 4096 Jan 10 15:36 /var/www/discourse/tmp
root@ubuntu-2gb-nbg1-1-app:/var/www/discourse# ls -nltrd /var/www/discourse
drwxr-xr-x 1 1000 1000 4096 Jan 10 15:26 /var/www/discourse
root@ubuntu-2gb-nbg1-1-app:/var/www/discourse# ls -nltrd /shared/backups /shared/tmp/backups
drwxr-xr-x 3 1000 33 4096 Aug 15 2019 /shared/backups
drwxr-xr-x 3 1000 33 4096 Jan 10 15:36 /shared/tmp/backups
root@ubuntu-2gb-nbg1-1-app:/var/www/discourse# ls -nltrd /shared /shared/tmp
drwxr-xr-x 13 0 0 4096 Jan 27 2021 /shared
drwxr-xr-x 4 1000 33 4096 Jan 10 15:35 /shared/tmp
O usuário 1000 é “discourse” e o grupo 33 é “www-data” e tudo isso não me dá uma pista sobre qual é o seu problema. Desculpe.