お使いの古いサーバーは標準的なインストールではないようです。とにかく、簡単に状況を説明しますと、長年の間に古いサーバーのインデックスが破損しました（OS アップグレード後に発生することがあります）。その結果、incoming_referers テーブルに同一の行が 2 つ混入してしまいました。バックアップはその状態のままコピーされ、新しいサーバー側でそれらが拒否されてしまいます。そのため、まずは古いサーバー側で修正を行い、その後新しいバックアップを作成します。
古いサーバーで Rails コンソールを開きます：
./launcher enter app
rails c
次に、以下の行を順番に貼り付けてください：
db = ActiveRecord::Base.connection.current_database
DB.exec("DELETE FROM incoming_referers a USING incoming_referers b WHERE a.id > b.id AND a.path = b.path AND a.incoming_domain_id = b.incoming_domain_id")
DB.exec("REINDEX DATABASE #{ActiveRecord::Base.connection.quote_table_name(db)}")
これにより重複が削除され、すべてのインデックスが再構築されます（他のテーブルも影響を受けている可能性があるため）。
REINDEX がエラーなしで完了したら、exit と入力し、古いサーバーで新しいバックアップを作成して、その新しいファイルを復元してください。もし他のテーブルに関するエラーが表示された場合は、そのままここに貼り付けてください。