こんな感じですか？
display: none を使って下部にある page-not-found-search コンポーネントを非表示にし、プラグインのアウトレットを使って検索ボックスのコードを上部に挿入することで可能になると思います: Using Plugin Outlet Connectors from a Theme or Plugin
また、textareaの幅を変更するためにCSSを追加することもできます。これはブラウザのコンソールで直接試しただけで、実際にテストしたわけではありません。
こちらが検索ボックスのコードです:
<div class="row">
<div class="page-not-found-search-top">
<h2>Search this site</h2>
<p>
</p><form action="/search" id="discourse-search">
<input type="text" name="q" value="">
<button class="btn btn-primary">Search</button>
</form>
<p></p>
</div>
</div>