Algo assim?
Eu acho que deveria ser possível ocultar o componente page-not-found-search na parte inferior com display: none e, em seguida, inserir o código para a caixa de pesquisa na parte superior usando os plugin outlets: Using Plugin Outlet Connectors from a Theme or Plugin
Você também pode adicionar algum CSS para modificar a largura da área de texto. Note que eu não testei realmente nada disso, apenas tentei diretamente no console do navegador.
Este é o código para a caixa de pesquisa:
<div class="row">
<div class="page-not-found-search-top">
<h2>Search this site</h2>
<p>
</p><form action="/search" id="discourse-search">
<input type="text" name="q" value="">
<button class="btn btn-primary">Search</button>
</form>
<p></p>
</div>
</div>