まず、これはサポートされていないインストール方法です。標準的な Docker インストールを実行していない場合、基本的には自己責任となります。
ただし、その上で知っておくべきことを以下にまとめます：
すべての ENV 変数を ECS コンテナに渡す必要があります。./launcher start-cmd を使用して、必要な情報を表示させることができます。app.yml はイメージのビルドにのみ使用され、これらの変数はコンテナに埋め込まれていません。これらの ENV 変数をコンテナに渡す方法を確立できれば、目的の動作が得られると確信しています。
私はまだ ECS でのインストールを行ったことはありませんが、まもなく行う予定です。うまくいくかどうか教えていただければ幸いです。
また、あなたはここで同じ質問をされています：Aws deployed discourse is fetching assets from database url - #18 by trying2survive 答えも同じでした。