Primeiro: esta é uma instalação não suportada. Na maioria dos casos, se você não estiver executando uma instalação padrão do Docker, estará por conta própria.
Dito isso, aqui está o que acredito que você precisa saber:
Você precisa passar todas essas variáveis de ambiente (ENV) para seus contêineres ECS. Você pode usar ./launcher start-cmd para fazê-lo imprimir essas informações. O app.yml é usado apenas para construir a imagem. Essas variáveis não estão embutidas no contêiner. Tenho quase certeza de que, se você fizer o necessário para passar essas variáveis de ambiente para o seu contêiner, ele fará o que você deseja.
Nunca fiz uma instalação no ECS, mas parece que farei em breve. Ficarei feliz em saber se isso funciona.
Você também fez a mesma pergunta aqui: Aws deployed discourse is fetching assets from database url - #18 by trying2survive e recebeu a mesma resposta. 