Uma correção rápida seria adicionar uma margem abaixo do compositor de chat, não muito bonito, mas os usuários devem conseguir alternar a caixa de entrada.
Eu também redimensionei a barra de abas, então se alguém quiser usar o CSS, deve usar a altura original da barra de abas (mas eu esqueci qual é).
.chat-composer__wrapper {
margin-bottom: 35px
}