グループの「このグループのメンバーを誰に表示するか」設定が「グループオーナー」または「グループオーナーとスタッフ」に設定されている場合、グループメッセージの通知レベルを設定してみました。このように設定されたグループでは、グループオーナーではないメンバーには、メッセージタブにグループの受信トレイが表示されません。
開発サイトでテストしたところ、もう一点目立つ点がありました。オーナーではないメンバーはグループメッセージの通知を受け取りますが、そのメッセージはユーザーの受信トレイに表示されません。メッセージは受信トレイに「存在」しているものの、アクセスするためのリンクは表示されません。ユーザーは /u/<username>/messages/group/<group_name> に移動することで受信トレイからグループのメッセージにアクセスできますが、そのパスへのリンクは表示されません。また、ユーザーはグループの「メッセージ」タブからグループのメッセージを確認することもできます。
もしユーザーが PM を表示して PM アイコンをクリックすると、/u/<username>/messages/group/<group_name> に移動します。そのページでは、各グループ PM の通知レベルを設定できますが、グループから送信されるすべての PM のデフォルトステータスを設定することはできません。
スクリーンショットの通知ボタンに問題があります。この問題の原因がわかる方がいなければ、本番環境のサイトで再度テストします。