メニューはボタンがクリックされたときにJavaScriptでドキュメントに追加されるため、サイトのHTMLのみのバージョンで動作するように簡単に変換することはできません。
ここにボタンが追加されている場所を示します。toggleHamburger という名前のアクションがあることがわかります。
https://github.com/discourse/discourse/blob/main/app/assets/javascripts/discourse/app/widgets/header.js#L246
toggleHamburger アクションは、同じファイルの後半で定義されています。
https://github.com/discourse/discourse/blob/main/app/assets/javascripts/discourse/app/widgets/header.js#L483
toggleHamburger は hamburgerVisible の状態を変更するため、メニューは最終的に panels.push(this.attach("hamburger-menu")); で追加されます。これはここで確認できます。
https://github.com/discourse/discourse/blob/main/app/assets/javascripts/discourse/app/widgets/header.js#L379