Receio que não seja possível instalar o Discourse em um pacote de hospedagem web como você descreve.
O Discourse requer acesso SSH porque, ao contrário do phpBB, ele é um aplicativo, em vez de uma coleção de arquivos PHP.
O Discourse instalará o Docker e, dentro do Docker, criará uma imagem que inclui tudo o que ele requer para ser executado.
Dê uma olhada no guia de instalação padrão. Um VPS de US$ 5 na DigitalOcean é suficiente para começar.