連続してDMやチャンネルメッセージを送信する際に問題が発生しています

なるほど。

それに、自宅のインターネット接続は普段は速いので、あまり頻繁には起こらないのですが、遅い時にはよく起こります。

インターネット接続の速度が原因なのでしょうか?