Ich empfehle aus offensichtlichen Gründen eine Installation auf einer Subdomain.
forum.example.com ist für ein Forum auf deiner Website gar nicht so schlecht.
Du kannst dich auch für den Subordner-Weg entscheiden, wie @pfaffman oben vorgeschlagen hat, aber in beiden Fällen müsstest du einen anderen Server als dein HostGator-Konto nutzen.
Du brauchst einen VPS mit Root-Zugriff, um Discourse zu installieren und zu verwalten.
Ich hoffe, das hilft weiter.