Ich möchte @Arkshine für die bisherige Hilfe ein großes Lob und Dank aussprechen. Anscheinend kann der VPS die gehostete Domain nicht erreichen – daher funktionieren die E-Mails nicht. Das ist ziemlich seltsam, aber ich kontaktiere den Hosting-Provider, um das zu überprüfen. Ich werde ein Update geben.
Das ging ziemlich schnell und einfach. Ein einfacher Ping zur gehosteten Domain von einer SSH-Sitzung zum VPS, auf dem Discourse läuft, zeigte, was los war. Mal sehen, wie es weitergeht.
EDIT
Ich wünschte, @Arkshine hätte geantwortet, damit ich das als Lösung markieren könnte. Jedenfalls – ich habe eine Antwort vom Hosting-Provider erhalten. Anscheinend haben ihre Server die VPS-IP automatisch wegen fehlgeschlagener SMTP-Versuche blockiert. Ich bin mir nicht sicher, was da los war – ich werde die Einstellungen ändern und die Tests erneut durchführen und sehen. Sollte jetzt in Ordnung sein – die gehostete IP ist jetzt vom VPS aus anpingbar. Habe die E-Mail-Einstellungen getestet und wir können loslegen!
Hoffentlich hilft diese Information jemandem. Wenn ich den OP bearbeiten könnte, würde ich einfach eine TL;DR einfügen – oder sie können einfach auf den Link klicken, um zur Lösung zu gelangen.
Nochmals – vielen Dank an @Arkshine für all die Hilfe. Weiter so!