ここでの混乱の多く(私自身の混乱も含めて)は、ブラウザによって異なる PWA インストールオプションが存在することにあると思います。
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Android Chrome(デフォルトのブラウザ):あなたが投稿したスクリーンショットはおそらくここから取得されたものと思われます。ここではハンバーガーメニューに「アプリをインストール」が表示されているようです。すべてのブラウザで利用可能であれば素晴らしいのですが、現時点ではそれは不可能なようです。
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iPhone Safari(デフォルトのブラウザ):ハンバーガーメニューにはインストールボタンはありません。インストールするには、共有アイコン(上矢印の四角)をタップし、下にスクロールして「ホーム画面に追加」を選択する必要があります。ここでの議論から、ハンバーガーメニューにボタンを追加することは不可能だと推測されます。これでアプリがホーム画面に保存されますが、それだけで前の状態を保存するなどの PWA 機能が得られるかどうかはわかりません。
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デスクトップ Chrome:私の Mac の Chrome ブラウザでは、ハンバーガーメニューにインストールボタンがありません。そこに表示されるべきでしょうか?追加することは可能でしょうか?
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デスクトップ Safari:私の Mac の Safari ブラウザでも、ハンバーガーメニューにインストールボタンはありません。そこに表示されるべきでしょうか?追加することは可能でしょうか?