Auf jeden Fall ein Backup, und selbst wenn alles in Ordnung sein sollte, falls du eine Art VPS-Funktion dafür hast, vielleicht ein Snapshot des Hosts 
, da es sicher einige Datenbank-Updates geben wird. Es könnte einfacher sein, von einem Backup wiederherzustellen, falls etwas schiefgeht (der Wiederherstellungsprozess ist übrigens interessant zu üben). Erstelle eine Kopie der app.yml und notiere dir den SHA des Commits, auf dem du dich befindest, als zusätzliche Vorsichtsmaßnahme?
Von 2.4 auf 2.7 gibt es einige PostgreSQL-Updates, wenn ich mich nicht irre. Vielleicht durchstöberst du einige davon als Aufwärmübung: Search results for 'postgresql update' - Discourse Meta 
Ja, der Container wird während des Neubuilds gestoppt.
Nein, zumindest nicht standardmäßig.