こんにちは、カミーユさん、ようこそ！質問のリストはかなり長いですが、上部の検索バーを利用すれば、あなたや他のメンバーが負担なく対応できるようになります。誰も混乱しないようにしてくださいね 
とはいえ、私がどのようにお手伝いできるか確認してみましょう。
はい、可能です。こちらをご覧ください: Understanding groups and category permissions
登録メンバー専用のトピックを一覧表示するための追加のカスタマイズが必要な場合は、こちらを参照してください: Category Previews
サインアップ/登録を求めるモーダルまたはメッセージが表示されますが、これを「拒否メッセージ」と呼ぶことはあまりありません。
はい、可能です。こちらをご覧ください: Sending bulk user invites
はい、可能です。管理画面 > カスタマイズ > メール に移動し、ドロップダウンから編集したいメールタイプを選択してください。
はい、可能です。「デフォルトの招待者の信頼レベル」というサイト設定を参照してください。外部認証や SSO プロバイダーを使用して登録やログインを行う場合も、この設定が可能です。
私の記憶では、カスタムプラグインなしでこれは不可能だと思います。また、この方法を選んだ場合、スパムが大きな問題となり、大規模サイトではモデレーションが非常に困難になります。モデレーションは引き続き可能かもしれませんが、このような要望は以前見たことがないため、その後の状況については確かなことは言えません。
「トピック」という意味が正確にはわかりませんが、ご説明いただいたことはタグを使用して実現できます。こちらをご覧ください: It’s Time We Talked About Tags および Set up structured tagging with tag groups and category tag restrictions
これは、最初にリンクしたトピックで回答されています。