ここでの問題は、チェックアウト時にタグがローカルに存在しないことだと思います。以下（Discourse 関連ではない）の issue と同様です：
git fetch --all を実行すれば問題は解決するはずですが、画像サイズがどの程度増えるかはわかりません（後で未使用の参照を削除する別の指示がある場合を除きます）。
とはいえ、git clone --depth 1 https://github.com/discourse/discourse.git --branch=$version で解決できると思います。--branch オプションはブランチとタグの両方を指定できるためです。ただし、私はテストしていないため、現在 master ブランチを使用している理由があるかどうかはわかりません。
git clone --depth 1 https://github.com/discourse/discourse.git --branch=v2.6.0 を実行すると、フォルダ全体のサイズは 212MB、その中の .git フォルダは 46MB でした。したがって、問題ないと思います。