Esse é um desafio interessante.
Se o site fosse dinâmico com um backend e você tivesse SSO entre o Discourse e o site, haveria um caminho claro a seguir. Seu backend saberia quem é o usuário e poderia usar uma Chave de API de Administrador para consultar as notificações do Discourse do usuário atual e enviá-las junto com a página em cada solicitação.
Como o site é uma página estática, ele realmente não tem um estado de login, certo?
Temos a opção de usar Embedding a list of Discourse Topics in another site e Embed Discourse comments on another website via Javascript, ambas das quais funcionam com sites estáticos.
Acho que criar uma nova solução para notificações é uma ótima ideia!