O que eu quis dizer foi que, combinado com a movimentação do painel para a direita com o componente @Lhc_fl. Estudando o código no componente que linkei, você pode conseguir recolocar o menu hambúrguer entre a busca e o perfil. Se eu entendi sua solicitação e o problema com a solução alternativa atual feita por Lhc_fl.
Como já usa código para mover o menu, pode haver detalhes no código como um exemplo para modificar e alcançar o efeito desejado que você procura.
No celular, sua captura de tela está na posição desejada que você procura no modo Desktop.
Alguém com experiência pode conseguir extrair o código usado no celular também e aplicá-lo ao desktop. Através de estudar o “inspect element” no desktop enquanto carrega o site na visualização de celular.
Para a largura, há um novo componente para mudar a largura do site que pode ser de interesse para explorar.