O outro site também estava na Cloudflare, mas não tinha o cache ativado. A raiz do novo site tem o cache agressivo ativado via regras de página, o que também se aplicaria às subpastas, daí o problema.
TTL do Cache do Navegador: um mês, Always Online: Ligado, Nível de Cache: Cache Everything, TTL do Cache de Borda: 2419200 segundos
Acho também que o seguinte cabeçalho é crítico.
proxy_set_header X-Forwarded-Proto https;