いきなりですが、そのエラーは間違っているように思えます。これはNodeで削除された機能ではなく、一部のOpenSSLのインストールに関する問題です。Nodeのドキュメント（Crypto | Node.js v25.0.0 Documentation
crypto.privateDecrypt() で crypto.constants.RSA_PKCS1_PADDING を使用するには、OpenSSL が暗黙的な拒否（rsa_pkcs1_implicit_rejection）をサポートしている必要があります。
ローカルでテストしたところ、暗号化と復号の両方でパディングに crypto.constants.RSA_PKCS1_PADDING を使用するように切り替えても、これは機能します。An example of RSA Encryption implemented in Node.js · GitHub OpenSSL 3.4.0 および Node 23.6.1 を使用しています。
サイト設定を使用する際の難しい点は、クライアントが特定のインスタンスがどのパディングをサポートしているかを知ることができないことです。これにより、インスタンス/サービス間の互換性を理解するのが難しくなります。
既存の実装を明確にすること、つまり RSA_PKCS1_PADDING を使用していることを明示的に記載し、その後アップグレードを検討することをお勧めします。おそらく、このエンドポイントにバージョン管理を導入する必要があり、クライアントがそのバージョン以前/以降で適切なパディングをきれいに使用できるようになります。