Danke an alle
Während bei dieser speziellen Instanz die groups immer noch leer bleibt (auch mit der API des Benutzers anstelle der aktuellen Sitzung), konnte ich dies erreichen, indem ich die Gruppen-ID in group_users überprüfte, die ebenfalls dieselben Daten speichert, nur eben nicht mit dem Namen.
Ich habe meinen ursprünglichen Ansatz verwendet, um die Daten zu erhalten, da dies “nur” ein Snippet ist, das in Discourse als head-Skript hinzugefügt wurde, kein Theme oder Plugin.
Ich konnte die eigentliche api nicht zum Laufen bringen, aber der AJAX-Ansatz funktioniert für das, was ich brauchte, genauso gut.
Nochmals vielen Dank an alle für die Beiträge, insbesondere an @Lhc_fl, dessen Ansatz mich zur richtigen Lösung für meinen Fall geführt hat.