皆さん、ありがとうございました。
この特定のインスタンスでは、groups は（現在のセッションではなくユーザーのAPIを使用しても）空のままでしたが、グループの ID を group_users でチェックすることでこれを達成できました。group_users にも同じデータが格納されていますが、名前は含まれていません。
これはDiscourseのheadスクリプトとして追加された「単なる」スニペットであり、テーマやプラグインではないため、元の方法でデータを取得しました。
実際の api を機能させることができませんでしたが、AJAXアプローチは私が必要としていたものには問題なく機能しました。
入力してくださった皆さん、特に私のケースで正しい解決策につながるアプローチを教えてくださった @Lhc_fl さん、本当にありがとうございました。