He hecho algunos avances.
Al final, la única forma que encontré es usar un Cloudflare Worker como intermediario/backend para manejar la autenticación, ocultar las credenciales del proveedor y crear las URL de carga, y luego subir los datos a CF Stream o Mux. ¿Te parece bien eso?
Así es como funciona (en términos no técnicos):
- Haces clic en “Subir”.
- Una ventana emergente rápida te inicia sesión a través de Discourse SSO (solo la primera vez).
- El intermediario confirma que tienes permiso y te recuerda durante una hora.
- TC le pregunta al intermediario dónde debe colocar el video; este abre un espacio de carga privado con el proveedor (que guarda las claves secretas).
- TC sube directamente al proveedor.
Aquí hay una demostración rápida.
No te preocupes por el tiempo de procesamiento. Puedes usar el botón “insertar ahora” si lo prefieres.
Creo que es una solución bastante decente y funciona bastante bien, considerando las limitaciones de TC. 
Dicho esto, creo que esto debería ser solo una última alternativa. El complemento que Dave enlazó tiene una integración profunda y debería ser la primera opción para una solución limpia. Si puedes, ¡te animo encarecidamente a contactarlos! (¡De lo contrario, avísame!)