ユーザーのアバター URL を取得するエンドポイントはありますか？
https://meta.discourse.org/u/falco.json を呼び出し、.user.avatar_template を確認してください
確認しました 
つまり、アバターを取得するためのエンドポイントはないのですね。まずユーザー情報にアクセスし、その後、何らかのサイズに基づいて画像 URL を構築する必要がありますか？
/users/{user_id}/avatar.json のようなものが存在すると期待していました。
そのようです。どのような問題を解決しようとしていますか？Discourse のアバターを別のサイトで使用したいのでしょうか？
はい、まさにその通りです。他のサブドメインには別のアプリがホストされており、Discourse のアバターをそれらでも使いたかったのです 
ファイル名に 1 を指定すると、最新のものになります。100 はサイズです。任意の値にできます
https//meta.discourse.org/user_avatar/meta.discourse.org/pastawhiskey/100/1.png