В субботу я взялся за это дело и решил проблему, на этот раз с помощью ask.discourse.
Оказалось, что у нас была настроена нестандартная схема томов: загрузки и резервные копии размещались на дополнительном диске. Само по себе это не вызвало бы проблем, но когда мы увеличили объём диска с данными с 20 ГБ до 30 ГБ, мы забыли сообщить об этом файловой системе!
После исправления этой ошибки у меня теперь есть запас места на несколько лет вперёд.