この curl コマンドで、Meta 上のグループメンバー API リクエストを動作させることができました：
curl -i -sS -X GET "https://meta.discourse.org/groups/my-private-group/members.json" \
-H "Content-Type: multipart/form-data;" \
-H "Api-Key: key" \
-H "Api-Username: username"
Postman で「curl コマンドとしてコピー」機能を使って比較してみることをお勧めします。