可能性はありますが、それほど簡単ではありません。Discourse はステートレスなコンテナではなく、Google Cloud Run が対象としているのはステートレスなコンテナです。そのため、Discourse に保持されるデータ（アップロード、アバター、データベースなど）を保存するための永続ボリュームを追加する方法が必要になります。
私は通常の Google Compute インスタンスを使用することをお勧めします。何らかのスクリプトやインフラストラクチャ管理ツールを使えば、新しい Discourse インスタンスのデプロイを自動化できるはずです。このガイドも参考になるかもしれません：Install Discourse on Ubuntu or Debian for Development