Procure em suas configurações por native app install banner e ative-os conforme desejar.
EDIT veja abaixo
É possível acionar essa notificação para que eu possa ver como ela aparece ‘ao vivo’?
Ativei a opção no meu fórum e abri no Android, mas não vi nada.
Isso está errado. Nativo refere-se aos banners de instalação para Android/iOS do DiscourseHub. Isso é a instalação de PWA para desktop.
Isso está ativado por padrão em toda instalação padrão do Discourse.
Isso não é uma notificação e um site não pode controlá-la. Ela aparecerá na barra de endereços quando um site compatível for visitado várias vezes. No momento, apenas o Google Chrome e o Microsoft Edge possuem esse recurso no desktop.