API를 통해 특정 게시글에 '좋아요'를 보내는 방법은?

Discourse API에서 게시물을 ‘좋아요’로 표시할 수 있는 기능이 있나요?

네, Discourse API를 역공학하는 방법과 Discourse API Docs 참고하세요.

“post_action_type_id”은 무엇인가요?

확인할 수 있듯이, 이는 2입니다. https://meta.discourse.org/t/how-to-reverse-engineer-the-discourse-api/20576에서 확인해 보세요.