Come aggiungere un pulsante all'area dell'intestazione?

Puoi anche posizionare la barra di ricerca fuori dal flusso con position: absolute.
Non avrai più bisogno di margin.

.floating-search-input-wrapper {
   position: absolute;
   left: 0;
   top: calc((4em - 2.6rem - 2px - 2px) / 2);  /* altezza header - altezza search - margin - border */
   width: 100%;
}

Potrebbe essere necessario aggiungere una media query per controllare la larghezza su risoluzioni inferiori e assicurarsi che non si sovrapponga ad altri elementi.