¿Cómo añadir un botón al área del encabezado?

[Arkshine]

Puedes añadir ese CSS para que el logo se apile sobre la búsqueda.

.home-logo-wrapper-outlet {
    z-index: 1;
}

Tienes otra solución para el CSS floating-search-input en lugar de lidiar con los lados (asegúrate de eliminar el CSS en floating-search-input-wrapper):

.floating-search-input {
    position: absolute;
    left: 0;
    transform: translateX(calc(50vw - (33rem / 2)));
}