Come aggiungere un pulsante all'area dell'intestazione?

Puoi aggiungere quel CSS per far sì che il logo si sovrapponga alla ricerca.

.home-logo-wrapper-outlet {
    z-index: 1;
}

Hai un’altra soluzione con il CSS floating-search-input invece di occuparti dei lati (assicurati di rimuovere il CSS su floating-search-input-wrapper):

.floating-search-input {
    position: absolute;
    left: 0;
    transform: translateX(calc(50vw - (33rem / 2)));
}