Скорее всего, вы делаете одно из двух. Во-первых, вы увеличиваете мощность хоста (скейлинг вверх), что ваш провайдер, вероятно, позволяет сделать через веб-интерфейс. Детали зависят от вашего провайдера. Во-вторых, вы используете внешнее хранилище, например S3 или совместимый с S3 сервис. Я считаю, что они масштабируются по своей природе (с тарификацией по объёму использования), поэтому вопрос сводится к миграции на хранилище, совместимое с S3.
Если вы поищете по этим темам, вы найдёте множество предыдущих рекомендаций. Или вы можете воспользоваться форумом поддержки.
P.S. Возможно, есть и третий вариант, который вы можете реализовать — добавление тома хранения к вашему хосту. Это тоже функция хостинг-провайдера. Возможно, вам будет полезно прочитать статью Перенос загрузок и резервных копий в блочное хранилище DigitalOcean. Hetzner называет такие ресурсы Томами.