申し訳ありませんが、Discourse を自分のウェブサイトで利用するために何が必要か、少し混乱しています。
私の理解では、現在のドメイン名に forums. というプレフィックスを追加し、その新しいプレフィックス付きドメインで Docker コンテナ または別のサーバー全体を稼働させる必要があるようです。
しかし、同じドメイン名を使って example.com/forums のようにすることはできないのでしょうか？もしかすると、Discourse はそのような状況には対応していないのでしょうか？
もう一つの混乱点は、HostGator サーバー上でウェブサイトを実行している場合、どのようにインストールできるかという点です。別のサーバーとドメインを購入して、そこに Discourse をインストールする必要があるのでしょうか？この状況に対する手順をご存知の方がいらっしゃいますか？
ご意見をお聞かせください。おそらく、私が予想しているものとは全く異なるご提案があるかもしれません。
HostGatorはフルサーバーを提供していないと思うので、サブフォルダへのインストールを行うにはホスティングを変更する必要があります（実際、Cloudflareを前面に配置すればサブフォルダへのインストールが可能かもしれませんが、その事例は聞いたことがありません）。
サブフォルダへのインストールは推奨されておらず、SEO上の利点があると信じている人もほとんどいないようですが、それでも行いたい場合は Serve Discourse from a subfolder (path prefix) instead of a subdomain をご覧ください。
明らかな理由から、サブドメインインストールを推奨します。
forum.example.com は、Web サイト用のフォーラムをホストする上でそれほど問題ありません。
また、上記で @pfaffman さんが提案されたサブフォルダ方式を選択することもできますが、どちらの場合も、HostGator のアカウント以外のサーバーを用意する必要があります。
Discourse をインストールおよび管理するには、ルートアクセスを備えた VPS が必要です。
お役に立てれば幸いです。
遅くなり申し訳ありません。アドバイスをありがとうございます。早速試してみます。
このコミュニティは、オンラインのほとんどのフォーラム（特に StackOverflow など）に比べて、とても歓迎される雰囲気がありますね。この調子で続けてください！