Da qui sembra tutto a posto. SSL Labs mostra che Android fino alla versione 4.4.2 dovrebbe essere in grado di connettersi al sito:
Funziona se disattivi il WiFi? Fallisce di nuovo se lo riattivi?
Questo sembra un problema di interferenza del protocollo sul lato client, forse da parte del tuo ISP o qualcosa sul tuo telefono per qualche motivo. Sarei felice di diagnosticarlo ulteriormente, ma avremmo bisogno di ulteriori informazioni e di un po’ di scambio.