Lo he resuelto, así que dejaré el enlace al otro foro aquí para que otros como yo puedan tenerlo más fácil al intentar implementar esto. Resulta que los otros temas que sugerían incluir tu api_key y api_username en la URL quedaron obsoletos hace unos seis meses. La nueva forma de realizar la solicitud POST es seguir los pasos en el siguiente foro.
En mi caso, cerré la sesión de un usuario realizando la siguiente solicitud curl:
curl -X POST "https://DICOURSE-WEBSITE/admin/users/USER-ID/log_out" -H "Content-Type: multipart/form-data;" -H "Api-Key: INSERT-API-KEY" -H "Api-Username: INSERT-API-USERNAME"