Non sono sicuro che se non si dispone del codec con cui è stato codificato il file .mov, questo non funzionerà. Soprattutto se codificato con vecchi codec. Su iOS, sembra che solo MPEG-4/h264 sia supportato in <video>. Non sono un esperto; potrei sbagliarmi, però.
Non sono sicuro quale sia il modo migliore per risolvere il problema.
Per Chrome/Edge e simili, dovresti sicuramente usare video/mp4.
Onestamente, sarebbe più facile (almeno universalmente compatibile) convertire MOV in MP4. 