tl;dr おそらく試してみてください
docker exec -it web_only bash
chown -R discourse:www-data /shared/backups
さらに詳しく。
見ずに、次にデータコンテナを再構築してみます。変更がデータコンテナにも適用された（または影響する）ことを願っています。
悪いアドバイスは、...backups/default を世界書き込み可能にして、バックアップの所有権を確認することです。
したがって、webコンテナ（バックアップを実行しているコンテナ）でdefaultをdiscourse.www-dataに変更する必要があると思います。
最近のシングルコンテナはこちらです。
root@forum.mbse-capella.org(app):~$ docker exec -it app bash
root@new-app:/# grep www /etc/passwd
www-data:x:33:33:www-data:/var/www:/usr/sbin/nologin
root@new-app:/# grep discourse /etc/passwd
discourse:x:1000:1000::/home/discourse:/bin/bash
過去のある時点で、ビルドプロセスはすべてのファイルを chown していましたが、非常に時間がかかる可能性があるため、これは削除された可能性があると思います（これはコミットに注意を払ったことに基づくものではなく、感覚に基づいています）。