Una solución ligeramente menos desagradable es poner esto en la sección <head> HTML de un componente de tema personalizado:
<meta name="referrer" content="same-origin">
Eso no elimina la cabecera HTTP, y no pude encontrar ninguna información definitiva sobre si la cabecera HTTP anula la etiqueta meta HTML o al revés, pero al menos según una prueba rápida con whatsmyreferer.com, parece funcionar: no se envía más cabecera de remitente en los enlaces salientes.