Existem, na verdade, dois endpoints de pesquisa que você pode acessar: /search.json?q= e /search/query?term=.
term significa apenas termo de pesquisa e não se refere a período ou duração.
Para entender a API de pesquisa, o ideal é seguir Reverse engineer the Discourse API e realizar as pesquisas que você pretende fazer via API, observando como a interface faz as mesmas solicitações à API.