Bem, essas máquinas que consegui de graça estão ficando um pouco velhas, então estou começando a aceitar isso — embora o desempenho de CPU única ainda pareça melhor que o de um DO Droplet. Se resolver o problema com dinheiro a curto prazo fosse uma opção, provavelmente eu não teria esse cliente específico que quer desempenho empresarial a preços de negócio. 
Mas também percebi que havia o número de unicórnios hard-coded em outro lugar da cadeia, então ainda estou rodando apenas 3.
Infelizmente, minha configuração atual só se comunica com o Docker em um único host. Deveria dedicar um pouco mais de tempo para ver se consigo colocar alguns unicórnios na outra máquina também. Provavelmente é hora de dar uma olhada no HAproxy novamente, mas tenho outro projeto que realmente quero lançar primeiro.
Muito obrigado pela sua contribuição.
EDIT: E quando finalmente passei de 3 para 5 unicórnios, os gráficos de desempenho ficaram mais ou menos os mesmos (talvez um pouquinho mais lentos?), mas os erros 429 caíram significativamente. Parece que, uma vez que o processamento de imagens for concluído, tudo vai funcionar muito bem. 