Acabo de actualizar las claves de API utilizadas en meta y reconstruí el OP. Los tweets ahora se incrustan correctamente aquí (y para los clientes en nuestro hosting). Sin embargo, los problemas planteados por el OP todavía se aplican a los autoalojados.
Una opción alternativa aquí es cargar incrustaciones nativas de Twitter, vea este componente temático.