API ドキュメントを確認しましたが、メールアドレスやアバター以外のユーザー情報（例えば、名、姓、そして何よりカスタムフィールドなど）を編集する方法が見つかりません。
どなたかご教示いただけますでしょうか。
よろしくお願いいたします。
そのための API リクエストについては、Discourse API のリバースエンジニアリング方法で学ぶことができます。
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これは少なくとも2日連続で、質問に対する答えとしてこれが使われています。そのリンクはドキュメントの最上部にあるべきです。
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同意します。ドキュメントが存在する場合は、それが完全であると前提されがちですが、そうでない場合はその旨を明記するのが良いと思います。
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このトピックについて、@hjalali さん、何か詳細な解決策はありますか？
このトピックは役に立ちますか？
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docs.discourse.org にメッセージが表示されています。
注意: リストにないエンドポイントについては、Discourse API のリバースエンジニアリング ガイドに従って、API エンドポイントの使用方法を把握してください。
しかし、より完全にするために、時々更新するようにします。
@philipp96 さん、Reverse engineer the Discourse API を確認しましたか？そのようなアクションがどのように行われるかを理解するのは非常に簡単です。一度やり方を学べば、文字通り数秒の問題です。 
カスタムフィールドの質問については、次のとおりです。
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ブラウザの開発者ツールのネットワークタブを開きます。
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ユーザープロフィールのフィールドを更新します。
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ネットワークタブの「名前」セクションで
[your username].jsonを探します（「json」という文字列でフィルタリングすることもできます）。 -
右側の「ペイロード」タブをクリックします。
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リクエストの本文で送信されたすべてのデータがここに記述されています。
他のリクエストでも同じプロセスです。
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4件の投稿が新しいトピックに分割されました: プロフィール入力中に利用可能なユーザーフィールドの値を動的に更新する