つまり、ここでは Vimeo のリンクを貼り付けると自動的に埋め込まれますが、私のサイトでは単にリンクとして表示されてしまいます。ここで検索しても答えが見つからないので、ご助言いただければ幸いです。
おそらく、埋め込みを許可していない Vimeo のリンクを選択されたのでしょう。このリンクをあなたのサイトに投稿してみてください。
https://vimeo.com/channels/staffpicks/353070045
まだリンクしか表示されません
上記の Vimeo 動画がここでは再生されるのに、あなたのサイトでは再生されない場合、奇妙なサードパーティ製プラグインの問題があるか、Discourse が設置されているサーバーが Vimeo へのアクセスをブロックされている可能性があります。
YouTube などの他のワンボックスは、問題なく動作しますよね？
はい、YouTube は正常に動作しています。1 つのサイト（アダルトサイトです）で問題が発生しています。動画は表示されますが再生されません。
Vimeo 埋め込みが v2.4.0.beta4 +2 バージョンで動作しません
はい、結局よくわからなかったので、Discourseからは離れました。こういう埋め込み機能に頼っているためです。
昨日も同じ問題が発生し、トラブルシューティングを試みましたが無駄でした。Vimeo.com をホワイトリストに登録した後、iframe を使用して埋め込むことができました。
純粋な好奇心からそのリンクを試してみました（2.4.0.beta4、1576b07a10）。私たちもワンボックス化/プレビューが機能しません 
ここでは機能するのにあちらで機能しない場合、サイト設定に何らかの違いがあるはずです。リンク https://vimeo.com/65107797 も、私が最新バージョンに更新したばかりの Digital Ocean 上の Discourse でも問題なく動作します。また、あなたの非公開の投稿例に合わせるため、スタッフカテゴリに投稿も作成しましたが、それは関係ないはずです。
meta、try、そして私の自己ホスト Discourse では問題なく動作しているのに、設定の違いが何なのか気になります。
Vimeo があなたのサーバーまたはサーバーの IP 範囲をブラックリストに登録している可能性があります。これが原因かどうかを判断するには、他の動画のワンボックス（YouTube など）や他の種類のワンボックスが正常に動作するかどうかを確認してください。
それを簡単に見つける方法はありませんか？
ブラウザのコンソールで原因の手がかりが得られるでしょうか？Vimeo からのレスポンスをキャッチして、何らかのブラックリスト化を示すものがあるかもしれません。なぜ彼らがそんなことをするのだろうと不思議に思います。他のサイトと比べると、私たちは小規模でトラフィックの少ないサイトですからね 
Vimeo の動画だけが問題で、YouTube などはすべて正常に動作しています。
当社の DigitalOcean 上でホストされているインスタンの一つで、この問題を再現できました。
rails コンソールで以下を実行しました：
[1] pry(main)> FinalDestination.new("https://vimeo.com/358017730", verbose: true).resolve
=> nil
… /logs には次の警告メッセージが表示されました：
FinalDestination could not resolve URL (status 403): https://vimeo.com/358017730
どうやら Vimeo が DigitalOcean の IP アドレスの一部をブロックし、403 エラーを返しているようです。このケースへの対処方法がわかりません。
私も同様の現象を確認しています。これは Vimeo からの直接の応答ではなく、onebox コントローラーからのレスポンスです。
私もそう疑っていました
実際に、私の DO ドロップレットで wget を実行しても確認できます：
xx@xx:~# wget https://vimeo.com/65107797
--2019-09-16 14:16:25-- https://vimeo.com/65107797
vimeo.com (vimeo.com) の解決中... 151.101.64.217, 151.101.192.217, 151.101.128.217, ...
vimeo.com (vimeo.com)|151.101.64.217|:443 へ接続中... 接続済み。
HTTP リクエストを送信し、応答を待機中... 403 Forbidden
2019-09-16 14:16:25 エラー 403: Forbidden.
一方、自宅の PC で wget を実行すると正常に動作します：
C:\Users\Rich>wget https://vimeo.com/65107797
--2019-09-16 15:16:56-- https://vimeo.com/65107797
vimeo.com (vimeo.com) の解決中... 151.101.64.217, 151.101.128.217, 151.101.192.217, ...
vimeo.com (vimeo.com)|151.101.64.217|:443 へ接続中... 接続済み。
HTTP リクエストを送信し、応答を待機中... 200 OK
長さ: 115631 (113K) [text/html]
保存先: '65107797'
65107797 100%[=============>] 112.92K --.-KB/s 0.07 秒で完了
2019-09-16 15:16:57 (1.60 MB/s) - '65107797' を保存しました [115631/115631]
Vimeo にサポートチケットを送り、自社の IP アドレスを彼らのやや広範な包括的な禁止措置から除外できないか尋ねました。
ただ、彼らからあまり反応やサポートが得られるとは思っていません
もしここにいる他の皆さんも影響を受けている場合は、彼らから返信があったら（または返信が来たら）ここで更新情報をお知らせします。