En resumen, quizás intenta
docker exec -it web_only bash
chown -R discourse:www-data /shared/backups
Y más palabras.
Sin mirarlo, lo siguiente que intentaría sería reconstruir el contenedor de datos, esperando que cualquier cambio que se haya realizado también se haya hecho en (o afecte a) el contenedor de datos.
La respuesta de mal consejo es hacer que ...backups/default sea escribible por todos y ver la propiedad de la copia de seguridad.
Así que creo que lo que quieres hacer es chown default a discourse.www-data en el contenedor web (ese es el que hace las copias de seguridad).
Aquí tienes un contenedor único reciente:
root@forum.mbse-capella.org(app):~$ docker exec -it app bash
root@new-app:/# grep www /etc/passwd
www-data:x:33:33:www-data:/var/www:/usr/sbin/nologin
root@new-app:/# grep discourse /etc/passwd
discourse:x:1000:1000::/home/discourse:/bin/bash
En algunos momentos del pasado, el proceso de compilación hacía chown a todos los archivos, pero puede llevar mucho tiempo, así que creo que eso pudo haber sido eliminado en algún momento (esto es más una sensación que algo basado en prestar atención a los commits).