¿Hay un endpoint para obtener la URL del avatar del usuario?
Llama a https://meta.discourse.org/u/falco.json y verifica .user.avatar_template
Verificado 
Entonces, no hay ningún endpoint para obtener el avatar. ¿Debo acceder primero a la información del usuario y luego construir algo para obtener la URL de la imagen basándome en algún tamaño?
Esperaba encontrar algo como /users/{user_id}/avatar.json.
Así parece. ¿Qué problema estás intentando resolver? ¿Quieres usar el avatar de Discourse en otro sitio?
Sí, ese es exactamente el caso. Hay otros subdominios que albergan otras aplicaciones y queríamos usar el avatar de Discourse en ellos 
Si pones un 1 para el nombre del archivo, obtienes el más reciente. 100 es el tamaño. Puede ser cualquier cosa.
https//meta.discourse.org/user_avatar/meta.discourse.org/pastawhiskey/100/1.png